Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Herr Grüßgott zusammen.

Wir hatten das letzte Mal, nachdem wir uns allgemein etwas mit Matrix-Polynomen beschäftigt haben,

insbesondere eben dem, das aus dem charakteristischen Polynomen entsteht, aber auch aus dem Minimal-Polynomen,

und den Satz von Kayleigh Hamilton kennengelernt haben, haben wir uns jetzt der Frage zugewandt,

was machen wir denn in dem Fall, wo eine Matrix nicht diagonalisierbar ist.

Wir wissen, dass es dadurch charakterisiert, dass zumindestens für einen Eigenwert

die geometrische Vielfachheit kleiner ist als die algebranche Vielfachheit.

Wir sind also nicht in der Lage, da einen entsprechenden invarianten Unterraum

nur durch Eigenvektoren aufzuspannen, bekommen also keine,

können also keine diagonale Darstellung bekommen, zumindestens für diesen Teil sozusagen der Matrix.

Ich frage jetzt, was können wir maximal bekommen?

Und wir wissen schon einiges, nämlich über die Schurche Normalform,

wir wissen, wir können auf jeden Fall eine obere 3x-Matrix bekommen.

Wir haben einen invarianten Unterraum, der hat gerade diesen betreffenden Eigenwert als einzigen Eigenwert

mit der Vielfachheit der Dimension dieses Raums, und wir wissen, wir haben auf jeden Fall da eine Diagonaldarstellung.

Das heißt also, wir können starten von einer Blockdreiecksdarstellung, wie sie hier nochmal angedeutet ist.

Wir haben also hier K verschiedene Eigenwerte in dem betreffenden Grundraum.

Wenn es reelle Eigenwerte sind, können wir das über R machen, ansonsten muss das über C geschehen.

Und wir wissen, dass wir durch eine Ähnlichkeitstransformation

und sogar durch eine unitäre Ähnlichkeitstransformation auf diese Gestalt kommen können.

Die Frage ist jetzt, jetzt gibt es zwei weitere Fragen, die wir jetzt in dieser und der nächsten Vorlesung angehen wollen,

und dann sind wir im Wesentlichen bei der Jordanschen Normalform angelangt.

Die Frage ist, ist es möglich durch Ähnlichkeitstransformationen diese Nichtdiagonalblöcke zu beseitigen?

Die Antwort ist Ja, und wir gehen diese Frage jetzt erstmal rein algorithmisch an,

über die sogenannte Silvestergleichung.

Wir sehen insbesondere, zumindest über den Weg, den wir gehen,

dass das zwar mit Ähnlichkeitstransformationen im Allgemeinen, aber eben nicht weiter mit unitären Ähnlichkeitstransformationen geht.

Das heißt also, wir beantworten die Frage, wann ist eine Matrix dir?

Wir finden also eine möglichst einfache Repräsentanten sozusagen in der Äquivalenzklasse,

der durch die Ähnlichkeitstransformation vermittelten Äquivalenzrelationen aber eben nicht mehr.

Also der erste Schritt ist, diese Nichtdiagonalblöcke hier zu beseitigen,

und der zweite Schritt wird dann sein, die verbleibenden Diagonalblöcke, von denen wir eben wissen,

es sind obere Dreiecksmatrizen, möglichst einfach zu gestalten.

Möglichst einfach heißt, möglichst dicht an die Diagonalmatrix heranzukommen.

Die Diagonalmatrix werden wir nicht in allen Fällen erreichen, sonst hätten wir eine diagonalisierbare Matrix,

aber sagen wir mal, das Ziel, das nächstmögliche Ziel und das tatsächlich erreichbar ist,

dass dann in dieser Darstellungsmatrix nur noch Einträge oberhalb der Diagonalen stehen und ansonsten nur Nullen.

Jetzt gehen wir erstmal das erste Ziel an und da reicht es, dass wir folgende Grundaufgabe uns anschauen.

Wir haben eine Matrix, die ist partitioniert in vier Blöcke mit den zwei Diagonalblöcken C1, 1 und C2, 2,

die mögen obere Dreiecksmatrizen sein.

Das ist jetzt zwar nicht essentiell für die folgenden Überlegungen, aber sehr, sehr hilfreich, wie wir gleich sehen werden.

Und die Frage ist, können wir eine Ähnlichkeitstransformation finden, die diese Blöcke belässt und den Nichtdiagonalblock C1, 2 eliminiert?

Das heißt, wir wollen eine Transformationsmatrix finden, sodass nach der Transformation die Matrix diese Blockdiagonalgestalt hat.

Okay, wir machen einen besonderen Ansatz für die Transformationsmatrix, weil wir diese beiden Blöcke hier erhalten wollen,

sind wir hier schon auf die Einheitsmatrizen festgelegt und den Freiraum, den wir noch haben, ist hier die Wahl der Matrix A.

Um die Ähnlichkeitstransformation zu machen, brauchen wir eine Inverse dieser Matrix und die Inverse ist hier angegeben.

Das ist direkt das Nachrechnen, dass diese Matrix die Inverse jener Matrix ist.

Okay, wenn man das jetzt hier ausmutet, das heißt, die Unbekannte, wir haben jetzt ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix A als Unbekannte

oder wir haben ein System linearer Gleichungen mit den Einträgen der Matrix A als Unbekannt.